向量空间概念化及额外结构
时间：2023-06-25 12:36:01 | 来源：营销百科
时间：2023-06-25 12:36:01 来源：营销百科
向量空间概念化及额外结构：如果一个向量空间
V的一个非空子集合
W对于
V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意
W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在
W之中），那么将
W称为
V的
线性子空间（简称子空间）。
V的子空间中，最平凡的就是空间
V自己，以及只包含
0的子空间。
给出一个向量集合
B，那么包含它的最小子空间就称为它的
生成子空间，也称
线性包络，记作span(
B)。
给出一个向量集合
B，若它的生成子空间就是向量空间
V，则称
B为
V的一个
生成集。如果一个向量空间
V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称
V是一个有限维空间。
可以生成一个向量空间
V的线性无关子集，称为这个空间的
基。若
V={
0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间
V，基是
V'最小'的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基
B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：，那么空间中的每一个向量
v便可以通过坐标系统来呈现：
这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的
维度。当
V是一个有限维空间时，
任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ
∞,…中， ℝ
n的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是
n）中，
确定一组基，那么所有的向量都可以用n
个标量来表示。比如说，如果某个向量
v表示为：
那么v可以用数组来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：
可以证明，存在从任意一个
n维的-向量空间到空间的双射。这种关系称为同构。
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