向量空间子空间基底
时间：2023-06-25 12:33:01 | 来源：营销百科
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向量空间子空间基底：对一般域F，V记为F-
向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为
实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为
复数向量空间；若F是有限域，则V称为
有限域向量空间。
最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数
u、
v、
w，都有：
- u (v w) = (u v) w，
v w = w v，
零元存在：实数0满足：对任何的实数v，v 0 = v，
逆元素存在：对任何的实数v，它的相反数w = −v就满足v w = 0。
标量乘法对向量加法满足分配律：a(v w) = a v aw.
向量乘法对标量加法满足分配律：(a b)v = a v b v.
标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数'1'满足：对任意实数v，1v = v。
更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点都有一个坐标，并对应着一个向量。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。
同样地，高维的欧几里得空间ℝ
n也是向量空间的例子。其中的向量表示为，其中的都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：
，可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式的集合。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。
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