完备空间相关定理

时间：2023-04-27 11:54:01 | 来源：营销百科

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完备空间相关定理：任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。

完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。

若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：

。

若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合C_b(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。

贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。