希尔伯特空间希尔伯特空间的基

时间：2023-07-03 23:45:01 | 来源：营销百科

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希尔伯特空间希尔伯特空间的基：勒贝格空间( 这里指空间 )是指定义在测度空间上的函数空间，其中代表函数的定义域，的元素是上的子集族，为一个代数，一般把称作可测空间(measurable space)，而是上的测度。

更仔细的说，( 简写做 ) 表示上所有平方可积（square-integrable）的复数值的可测函数的集合。平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。要注意的是在空间里，对于几乎处处( almost everywhere )相同的函数，也就是说如果两函数只在一个测度为0的集合上不相等，我们把这两函数当做在中相同的元素。

此时两个函数和的内积定义为

因为，所以这内积的定义没有问题。

但需要证明的是：

此空间在此内积下是完备的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于空间的着作。