希尔伯特空间定义
时间：2023-07-03 23:30:01 | 来源：营销百科
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希尔伯特空间定义：在一个复数向量空间上的给定的内积可以按照如下的方式导出一个范数（norm）：
此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为。任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。
任何有限维内积空间（如欧几里得空间及其上的点积）都是希尔伯特空间。但从实际应用角度来看，无穷维的希尔伯特空间更有价值，例如
酉群（unitary group）的表示论。
平方可积的随机过程理论。
偏微分方程的希尔伯特空间理论，特别是狄利克雷问题。
函数的谱分析及小波理论。
量子力学的数学描述。
内积可以帮助人们从'几何的'观点来研究希尔伯特空间，并使用有限维空间中的几何语言来描述希尔伯特空间。在所有的无穷维拓扑向量空间中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。
傅立叶分析的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基底函数的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族基底中的元素或其倍数的和。
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