完备空间相关概念
时间：2023-04-02 03:48:01 | 来源：营销百科
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完备空间相关概念：类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。
对M中的任意两个柯西序列x=(x
n)和y=(y
n)，我们可以定义它们间的距离：d(x,y) = lim
n d(x
n,y
n)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L
p到），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价关系）。这样，令ξ
x = {y是M上的柯西序列：}，M' ={ξ
x：x ∈ M}，原空间M就以xξ
x的映射方式嵌入到新的完备度量空间M' 中。易于验证，M等距同构于M' 的稠密子空间。
康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。
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