列空间相关定理
时间：2023-02-27 18:30:02 | 来源：营销百科
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列空间相关定理：
定理4两个行等价的矩阵有相同的行空间。
证明：若
B行等价于
A，则
B可由
A经有限次行运算得到。因此，
B的行向量必为
A的行向量的线性组合。所以，
B的行空间必为
A的行空间的子空间，因为
A行等价于
B，由相同的原因，
A的行空间是
B的行空间的子空间。
定义A的行空间的维数称为矩阵
A的秩(rank)。
为求矩阵的秩，可以将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中的非零行将构成行空间的一组基。
例2令
将
A化为行阶梯形，得到矩阵
显然，(1，-2，,3)和(0，1，5)构成的行空间的一组基。因为和
A是行等价所以它们有相同的行空间，且因此
A的秩为2。
一般地，若
A为一m×n矩阵，且是
A的行阶梯形，则由于当且仅当时，，故它们的列向量满足相同的依赖关系。
定理5若
A为一m×n矩阵，则
A的行空间的维数等于
A的列空间的维数
[1]。
证明：若
A为一秩为r的m×n矩阵，则
A的行阶梯形将有r个首1元素。中对应于首1元素的列将是线性无关的。然而，它们并不构成
A的列空间的基，这是因为，一般地，
A和有不同的列空间。令为消去中自由变量所在的列得到的新矩阵。从
A中消去相应的列，并记新矩阵为。矩阵和也是行等价的。因此，若
x为的一个解，则
x必为的解。因为的各列是线性无关的，故
x必为
0，因此，的各列也是线性无关的，因为有r列，所以
A的列空间的维数至少为r。因为对任何矩阵，其列空间的维数大于或等于行空间的维数，将这个结论应用于，我们有
dim(
A的行空间)=dim(的列空间)
≥dim(的行空间)
=dim(
A的列空间)
因此，对任何矩阵
A，行空间的维数必等于列空间的维数。
我们可以利用
A的行阶梯形求
A的列空间的一组基。我们只需求中对应于首1元素的列即可。
A中的相应列将是线性无关的，并构成
A的列空间的一组基。
注意：行阶梯形仅告诉我们
A的哪一列用于构成基。但不能用的列作为基向量，这是因为和
A一般有不同的列空间。
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