欧几里德空间直觉概述
时间:2023-07-07 04:45:01 | 来源:营销百科
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欧几里德空间直觉概述:有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移,它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转,其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是,如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形,平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。(参见欧几里得群)。
为了使这些在数学上精确,必须明确定义距离、角、平移和旋转的概念。标准方式是定义欧几里得平面为装备了内积的二维实数的向量空间。有着:
在这个向量空间中的向量对应于在欧几里得平面中的点,
在向量空间中的加法运算对应于平移,
内积蕴涵了角和距离的概念,它可被用来定义旋转。
一旦欧几里得平面用这种语言描述了,扩展它的概念到任意维度就是简单的事情了。对于大多数部分,词汇、公式、和计算对更高维的出现不造成任何困难。(但是,旋转在高维中是非常微妙,而高维空间的可视化仍很困难,即使对有经验的数学家也一样)。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间,而是向量空间作用于其上仿射空间。直觉上,区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择,因为它可以到处移动。这种技术本文中很大程度上被忽略了。