空间多边形相关结论及证明
时间：2023-03-23 14:54:01 | 来源：营销百科
时间：2023-03-23 14:54:01 来源：营销百科
空间多边形相关结论及证明：1.证明:空间四边形各边的中点是平行四边形的顶点。
提示设A₁,B₁,C₁和D₁是边AB.BC,CD和DA的中点，则A₁B₁ // AC和C₁D₁// AC,所以A₁B₁//C₁D₁(特别地,点A₁,B₁,C₁和D₁在一个平面上),类似地B₁C₁// A₁D₁。
2.证明:问题1中的平行四边形的中心与连接四边形对角线中点的线段的中点重合。
提示设A₁,B₁,C₁和D₁是边AB,BC,CD和DA的中点。再设P和Q是对角线AC和BD的中点，则线段A₁Q和PC₁平行于线段AD,同时这两个线段每一个的长等于线段AD长的一半，因此A₁PC₁Q是平行四边形，所以线段A₁C₁的中点与线段PQ的中点重合。
3. 证明:空间四边形ABCD的对边两两相等，当且仅当它们的对角两两相等。
提示如果AB=CD和BC=AD，那么三角形ABC和CDA全等，所以∠ABC=∠CDA，类似有∠BAD=∠DCB.。
现在假设∠ABC=∠CDA和∠BAD=∠DCB，我们考察四面体abed，它的界面垂直于四面体ABCD的边，也就是AB⊥bed,BC⊥cda,CD⊥dab和DA⊥abc，根据条件平面bcd和cda之间的角等于平面dab和abc之间的角，即,棱ad上的二面角等于棱ab上的二面角。此外，棱bc上的二面角等于棱ad上的二面角，由两对二面角的等式推得三面角abcd和cdba的相等(这两个三面角在棱ac上的二面角是公用的)，由三面角的等式推得它们对应的面角相等，特别地，∠bac=∠dca 和∠acb=∠cad，所以 △abc≌△cda，类似地，△dab ≌△bcd。
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