集合论(数据库)

时间：2022-12-28 08:30:02 | 来源：信息时代

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    集合论 : 数学中以一般集合为研究对象的一个基本的分支学科。集合论在数学中占有独特的地位,它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论可以看作整个现代数学的基础。
集合论是由德国数学家Georg Cantor于19世纪末创立的。它的发展经历了两个阶段: 1908年以前为朴素集合论阶段,1908年以后又产生了公理集合论。朴素集合论在各数学分支中都得到了广泛的应用,促使各数学学科的迅速发展,特别是解决了19世纪末20世纪初的几何学和微积分学的危机。可是,朴素集合论有不严谨之处。Bertrand A. W.Russell在1901年发现了著名的集合论悖论,世称罗素悖论。为了消除悖论,Ernst Zermelo与Abraham Fraenkel等人创立了ZF公理系统,克服了朴素集合论中的悖论,解决了集合论的危机,使集合论重新获得迅速发展,形成公理集合论。如今,公理集合论已经成了数理逻辑的组成部分。实际上,公理集合论不外乎是对朴素集合论的严格处理。朴素集合论由于它的简单直观,现在仍继续得到广泛的应用。
(1)集合: 是集合论的研究对象,它是数学中不能精确定义的最基本概念。在实际应用中往往将一定范围内的具有一定性质、又各不相同的事物当作一个整体来看,这就组成一个集合,其中每一个事物称为集合的元素。常用A,B,C等大写字母表示集合,用小写字母a,b,c等表示集合中的元素,并且用x∈A表示x为A的元素,用x∉A表示x不是A的元素。元素个数有限的集合称为有穷集合,否则称为无穷集合。例如,所有的中国人,某个家庭的所有成员,一张桌子、一把椅子和一只猫都构成集合。由所有自然数组成的集合叫做自然数集,类似地有整数集、有理数集和实数集。今后把它们分别记作N,Z,Q和R。①列举法:列出集合中全体元素。例如,{1,2,3},{a,b,c,d},{a,{1,3}};②描述法:用集合的全体元素所具有的特有性质描述。例如,由所有非负偶数组成的集合,常表示成{x|x=2k,k∈N}。又如,方程x³-6x²+11x-6=0的根组成的集合可表示成: {x|x∈R且x³-6x²+11x-6=0}或{1,2,3}。
(2)集合的关系:设A,B是两个集合。①子集:如果A的元素都在B中,则称A是B的子集,或B包含A, 记作AB。②相等: 如果AB且B>A,则称A等于B,记做A=B; 否则说A不等于B,记作A≠B。③真子集:如果AB且A≠B,则称A是B的真子集, 记作A⊂B。④不相交: 如果不存在x使得x∈A且x∈B,即A与B没有共同的元素,则称A与B不相交。
(3)空集: 不含任何元素的集合,记做∅。空集是一切集合的子集。
(4)全集: 在某一个具体问题中,若所涉及的集合都是某集合E的子集,则称E是全集。例如,在研究自然数的性质时,可以把自然数集合N作为全集; 在某个班中,可取该班全体学生组成的集合为全集。
(5)幂集: 由集合A的全体子集组成的集合称作A的幂集, 记作P(A)。 例如, 设A={∅}, B={1,2}, 则P(A)={∅, {∅}},P(B)={∅, {1}, {2}, {1,2}}。若A有n个元素,则P(A)有2ⁿ个元素。
(6)集合运算: ①并集: 由集合A和B的全体元素组成的集合称作A与B的并集,记做A∪B,其中∪是并运算符。②交集: 由集合A与B的公共元素组成的集合称作A与B的交集,记作A∩B,其中∩是交运算符。③相对补集: 由属于A而不属于B的元素组成的集合称作B对A的相对补集,记作A-B,其中一是相对补运算符。④绝对补集: 由不属于A(属于全集)的元素组成的集合称作A的绝对补集,记作～A,其中～是绝对补运算符。⑤对称差集: 由属于A而不属于B或属于B而不属于A的元素组成的集合称作A与B的对称差集,记作A⨁B, 其中⨁是对称差运算符。 A⨁B=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
例如,设A={1,2,b,c},B={2,3,a,b},则A∪B={1,2,3,a,b,c},A∩B={2,b},A-B={1, c}, B-A={3,a}, A⨁B={1, 3, a, c}。又设全集E={1,2,3,4,a,b,c,d},则～A={3,4,a,d}。
(7)基本集合恒等式: 设A,B,C为集合,E为全集:
幂等律: A∪A=A,A∩A=A。
交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A。
结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
分配律: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
德·摩根律:绝对形式:～(A∩B)=～A∩～B,～(A∩B)=～A∪～B; 相对形式:A-(B∪C)=(AB)∩(A-C),A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)。
吸收律: A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A。
零律: A∪E=E, A∩∅=∅。
同一律:A∪∅=A, A∩E=A。
排中律:A∪～A=E。
矛盾律:A∩～A=∅。
余补律: ～∅=E, ～E=∅。
双重否定律: ～(～A)=A。
补交转换律: A-B=A∩～B。