商群性质
时间：2023-04-01 11:46:01 | 来源：营销百科
时间：2023-04-01 11:46:01 来源：营销百科
商群性质：商群G / G 同构于平凡群（只有一个元素的群），而G / {e}同构于G。
G / N的阶定义为等于[G: N]，它是N在G中的子群的指标（index）。如果G是有限的，这个指标还等于G的阶除以N的阶。注意G / N可以在G和N二者是无限的时候是有限的（比如
Z / 2
Z）。
有一个'自然'满射群同态π: G → G / N，把每个G的元素g映射到g所属于的N的陪集上，也就是：π(g) = gN。映射π有时叫做'G到G / N上的规范投影'。它的核是N。
在包含N的G的子群和G / N的子群之间有一个双射映射；如果H是包含N的G的子群，则对应的G / N的子群是π(H)。这个映射对于G的正规子群和G / N也成立，并在格定理中形式化。
商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。
如果G是阿贝尔群、幂零群或可解群，则G / N也是。
如果G是循环群或有限生成群，则G / N也是。
如果N被包含在G的中心内，则G也叫做这个商群的中心扩张。
如果H是在有限群G中的子群，并且H的阶是G的阶的一半，则H保证是正规子群，因此G / H存在并同构于C
2。这个结果还可以陈述为'任何指标为2的子群都是正规子群'，并且它的这种形式还适用于无限群。
所有群都同构于一个自由群的商。
有时但非必然的，群G可以从G / N和N重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。
Z4 / { 0, 2 }同构于
Z2，并且还同构于{ 0, 2 }，但是唯一的半直积是直积，因为
Z2只有一个平凡的自同构。所以
Z4不同于
Z2 ×
Z2，它不能被重构。
在线咨询
