列空间列空间与线性方程组

时间：2023-02-27 18:48:02 | 来源：营销百科

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列空间列空间与线性方程组：在研究线性方程组时，行空间和列空间的概念十分有用，一个方程组可写为

定理1(线性方程组的相容性定理)一个线性方程组相容的充要条件是b在的列空间中。

若将b用零向量替代，则(1)化为

由(2)知，当且仅当的列向量线性无关时，方程组仅有平凡解。

定理2令为一m×n矩阵，当且仅当的列向量张成R^m时，对每一，线性方程组是相容的，当且仅当的列向量线性无关时，对每一，方程组至多有一个解。

推论当且仅当一个n×n矩阵的列向量为的一组基时，是非奇异的。

一般地，矩阵的秩和其零空间的维数加起来等于矩阵的列数。一个矩阵的零空间的维数称为矩阵的零度(nullity)。

定理3(秩一零度定理)若为一m×n矩阵，则的秩与的零度的和为n^[1]。