时间：2022-12-26 02:30:01 | 来源：信息时代
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函数 : 一种特殊的二元关系,又称作映射。如果二元关系F是单值的, 即∀x∈domF,存在唯一的y使得〈x,y〉∈F,则称F为函数。常用F,G,H,f,g,h等表示函数,并把xFy记作y=F(x)。例如,F={〈a,1〉,〈b,2〉,〈c,3〉}是函数,其中F(a)=1,F(b)=2,F(c)=3;而G={〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,c〉}不是函数。
如果domF=A, ranFB,则称F是A到B的函数,并记作F: A→B。A到B的全体函数记作BA,即BA＝{f|f:A→B}。当A和B分别有n和m个元素时,BA有mn个函数。例如,A={a,b},B={1,2,3},则BA＝{f1,f2,…,f9},其中f1＝{〈a,1〉,〈b,1〉},f2＝{〈a,1〉,〈b,2〉},f3＝{〈a,1〉,〈b,3〉},f4＝{〈a,2〉,〈b,1〉},…,f9＝{〈a,3〉,〈b,3〉}。注意:∅∅＝{∅}; B≠∅时,B∅＝{∅};而A≠∅时,∅A＝∅。设f:A→B,A1A, {f(x)|x∈A1}称作A1在f下的象,记为f(A1)。特别地,f(A)称为f的象。f的象也就是f的值域。设B1B, {x|x∈A且f(x)∈B1}称作B1在f下的原象,记为f-1(B1)。例如,设A={a,b,c,d},f定义为:f(a)=1,f(b)=2,f(c)=1,f(d)=3,则f({a,b})={1,2},f-1({1,2})={a,b,c}。
(1) 函数的性质: 设f:A→B。①满射: 如果f(A)=B, 则称f是满射。②单射: 如果∀x, y∈A, 若x≠y,必有f(x)≠f(y),则称f是单射。③双射: 如果f既是满射、又是单射,则称f是双射。④单调性:设〈A, ≼1〉, 〈B,≼2〉为两个偏序集,f:A→B, 如果∀x, y∈A, x1y蕴涵f(x)≼2f(y), 则称f是单调增加的; 又, 如果∀x, y∈A, x1y蕴涵f(x)2f(y), 则称f是严格单调增加的。 如果∀x, y∈A, x1y蕴涵f(y)≼2f(x),则称f是单调减少的;又,如果∀x,y∈A,x1y蕴涵f(y))2f(x), 则称f是严格单调减少的。例如,f:R→R,f(x)=2x+1是双射;g:R→R,g(x)=x2,g既不是单射,也不是满射,更不是双射; 而h:R→R*,h(x)=x2,是满射,但不是单射;p:R*→R,p(x)=x2,是单射,但不是满射;q:R*→R*,q(x)=x2,是双射,其中R*是非负实数集。按照实数的大小关系,f是严格单调增加的,而g不是单调的。
(2)函数的复合(或合成): 关系的复合(见关系)在函数上的应用。设f:A→B,g: B→C,f与g的复合g°f是A到C的函数, ∀x∈A, g°f(x)=g(f(x))。
(3)反函数: 设f:A→B是双射函数,则f的逆(见关系)f-1: B→A也是函数,称为f的反函数。
关键词：数据,函数
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