关系代数(数据库)

时间：2022-12-23 22:30:01 | 来源：信息时代

时间：2022-12-23 22:30:01 来源：信息时代

    关系代数 : 用代数系统方法研究关系模型的一种数学理论,由Codd首先提出。它包括:
(1)投影运算: 若R是关系模式,X={A_i1,…,A_ik}R, r是R上的一个关系, 则r在X上的投影是r[X]={〈u[A_i1],…,u[A_ik]〉u∈r}。
(2)串接运算: 若R₁、R₂是两个关系模式,R₁∩R₂＝∅, r₁、 r₂分别是R₁与R₂上的关系, 则r₁与r₂的串接为r₁+r₂＝{u+v|u∈r₁andv∈r₂},这里,u+v是R₁∪R₂上的元组,满足(u+v)[R₁]∈r₁,(u+v)[R₂]∈r₂。
(3)连接运算: 若R₁、R₂是两个关系模式,r₁、r₂分别是R₁与R₂上的关系,A∈R₁,B∈R₂,dom(A)=dom(B), 则r₁与r₂在AθB条件下的连接为r₁r₂＝{v|v是R₁∪R₂上的元组,v[R₁]∈r₁,v[R₂]∈r₂,而且v[A]θv[B]为真}。
(4) 自然连接运算:若R₁、R₂是两个关系模式,r₁、r₂分别是R₁与R₂上的关系,则r₁与r₂的自然连接为r₁⋈r₂＝{v|v是R₁∪R₂上的元组, v[R₁]∈r₁,v[R₂]∈r₂}。当R₁∩R₂＝∅时,r₁⋈r₂实际上就是串接r₁+r₂,这时也称作r₁与r₂的广义笛卡儿积,也可记作r₁×r₂。
(5)选择运算:若R是关系模式,r是R上的关系,B_l是条件,则r在条件B_l下的选择是select(r,B_l)＝{u|u∈r且u使B_l为真},其中B_l可递归定义如下: ①若A,B∈R,θ∈{<,≤,=,≥,>,≠},a∈dom(A),则Aθa(或AθB)均称为原子条件。元组u使u[A]θa(或u[A]θB)成立时称u使Aθa(或AθB)为真。②原子条件是条件,若α、β是条件,则α∧β,α∨β, α是条件, 当元组u使α、β全为真时, 使α∧β为真; u使α或β之一为真时,使α∨β为真;u使α为假时, 使α为真。 ③α是条件, 则α加小括号后(α)也是条件,元组u使α为真时使(α)为真。条件真假的判定次序是先内层小括号再外层小括号, 同一层小括号中先再∧再∨。条件A=a∧B=b∧…∧C=c可简写为{A,B,…,C}=〈a,b,…,c〉。
(6)并运算:若R是关系模式,r₁、r₂是R上的关系,则r₁、r₂的并运算为r₁∪r₂＝{u|u∈r₁∨u∈r₂}。
(7)交运算:若R是关系模式,r₁、r₂是R上的关系,则r₁、r₂的交运算为r₁∩r₂＝{u|u∈r₁∧u∈r₂}。
(8)差运算:若R是关系模式,r₁、r₂是R上的关系,则r₁、r₂的差运算为r₁-r₂＝{u|u∈r₁∧u∉r₂}。
(9)除法运算: 若R₁、R₂是两个关系模式,r₁、r₂分别是R₁、R₂上的关系,则r₁÷r₂＝{u[R₁-R₂]|u∈r₁∧select(r₁, R₁-R₂＝u[R₁-R₂])[R₁∩R₂]r₂[R₁∩R₂]},即r₁÷r₂是这样一些元组u在R₁-R₂上投影的集合,这些u属于r₁,而且每个u都使select(r₁,R₁-R₂＝u[R₁-R₂])的选择结果在R₁∩R₂上的投影是r₂[R₁∩R₂]的超集。
这些运算中只有并、差、串接、投影、选择5个运算是基本的,这5个运算中的每一个都不能用其他4个来表示。而其他运算都可用这5个运算来表示。
Codd及Pirotte已证明关系代数、安全的元组关系演算、安全的元组关系演算是等价的。