时间：2022-12-22 16:30:01 | 来源：信息时代
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格 : 既是一种特殊的偏序集(见二元关系),又可以等价地转换成一种有两个二元运算的代数系统。
(1)偏序格: 任何两个元素都有最小上界和最大下界的偏序集。例如,〈P(A),〉是格,其中P(A)是集合A的幂集; 〈Sn,|〉是格,其中n为正整数,Sn为n的正因子集合,|是整除关系。
设〈L, ≼〉为格, 在L中引入两个二元运算:∀a, b∈L, a与b的最小上界记为a∨b, 最大下界记为a∧b。这样得到有两个二元运算的代数系统〈L, ∧, ∨〉, 它具有性质: ①幂等律: ∀a∈L,a∨a=a, a∧a=a; ②交换律: ∀a, b∈L, a∨b=b∨a, a∧b=b∧a; ③结合律: ∀a, b, c∈L, a∨(b∨c)=(a∨b)∨c,a∧(b∧)c=(a∧b)∧c;④吸收律:∀a,b∈L,a∧(a∨b)=a,a∨(a∧b)=a。
(2)代数格: 二元运算∨与∧满足交换律,结合律和吸收律的代数系统〈L,∨,∧〉。给定偏序格〈L, ≼〉, 则可得到一个代数格〈L, ∨, ∧〉。反之,给定代数格〈L, ∨, ∧〉, 在L上定义偏序关系≼如下: ∀a,b∈L, a≼b当且仅当a∧b=a(或a∨b=b)。那么,∀a, b∈L, a∨b和a∧b分别为a与b关于≼的最小上界和最大下界,从而〈L, ≼〉构成一个偏序格。于是,每个偏序格能诱导出一个代数格; 反之,每个代数格有一个偏序格与之对应。也就是说,这两种格是等价的,把它们统称为格。
例如,偏序格〈Sn,|〉对应的代数格为〈Sn,1cm,gcd〉,其中1cm(x,y)和gcd(x,y)分别是x和y的最小公倍数和最大公约数。图1给出偏序格〈S24,|〉的哈斯图。 偏序格〈P(A), 〉称作幂集格, 对应的代数格为〈P(A)),∪,∩〉。
图1 偏序格〈S24,|〉
图2 一个有补格
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