非经典逻辑(数据库)

时间：2022-12-21 00:30:02 | 来源：信息时代

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    非经典逻辑 : 具有特定语义及受限语法的一种逻辑,比较流行的有多值逻辑、模态逻辑、非单调逻辑、时态逻辑、模糊逻辑等。非经典逻辑与经典逻辑一样在19世纪开始出现,如多值逻辑、模态逻辑等已在20世纪取得了重大的进展,由于受计算机科学发展的影响,在20世纪70年代以后得到了重大的发展。非经典逻辑在数据库发展中对特种数据库的建立起到了奠基与理论支撑的作用。
1. 多值逻辑(multivalued logic)
在经典逻辑中,一个逻辑变量一般具有“真”、“假”两值。但在客观世界中,“三值”、“四值”以及“多值”的变量也是经常会有的,如在数据库的属性值中可有三种,它们是“真值”、“假值”以及“空值”。在构成计算机的双稳态元件外,尚有三稳态元件、四稳态元件等,所有这些都说明在某些情况下传统二值逻辑是不够的,还需要有“三值”、“四值”及“多值”等概念。在多值逻辑中,目前最常用的是三值逻辑,它是由波兰数学家Lukasiewicz提出的。在三值逻辑中,也有“并且”(∧)、 “或者”(∨)、 “蕴涵”(→)、 “否定”()等逻辑符,它们的解释可以用真值表表示,也可以建立相应的公理系统及相应的定理。在Lukasiewicz的三值逻辑中,除有T(真)、F(假)两值外,还有第三个值U,它表示“既不能确定其为真,也不能确定其为假”,在此语义解释下,其真值表可以定义在表1中。

表1 多值逻辑真值表

否定

或者

并且

蕴涵

A

A

A∨B

F

T

U

A∧B

F

T

U

A→B

F

T

U

F T U

T F U

F T U

F F U

F T T

U T U

F T U

F F F

F T U

F U U

F T U

T F U

T T T

T U T

在表1中分别表示了三值的否定、或者、并且以及蕴涵的真值表。
对于全称量词及存在量词,可定义如下(I表示论域):
全称量词:

存在量词:

在上述定义后,可以进一步建立三值逻辑的形式化系统(即公理系统)并在此基础上推导出三值逻辑的相关定理以及整个三值逻辑系统。
2. 模态逻辑(model logic)
经典的逻辑是建立在陈述句上的,它不允许出现虚拟语句,而模态逻辑允许使用虚拟语句。如可能、必然、相信、希望等,这些都是“不确定的”概念,因此模态逻辑是一种“不确定”逻辑。
在模态逻辑中最常用的两个虚拟词是: “可能”与“必然”,以这两个词所建立起来的模态逻辑称为Aristotle模态逻辑,它反映了在客观世界中除了有“现实世界”(经典逻辑所反映)外,还有“可能世界”与“必然世界”(Aristotle模态逻辑所反映)。
模态逻辑是经典逻辑的一种扩充,它将经典逻辑中无法反映与表示的不确定思想通过模态逻辑表达出来。如“火星有水,故火星上可能有人”,“我明天一定参加会议”等均是有具体模态含义的典型例子。下面重点介绍Aristotle模态逻辑(简称模态逻辑)。
(1)在模态逻辑中经典逻辑的公式、公理、规则均适用。
(2)在模态逻辑中增加两个模态操作(或称模态词)。必然操作: □(一元操作),□A表示不论在什么场合均有事实A; 可能操作: ◇(一元操作),◇A表示对某些场合有事实A。
(3)对于两个模态操作可有如下永真公式,它反映了P及□P与◇P间的逻辑关系。

(4)可以建立一个模态命题逻辑的形式语言:①基本符号: 变量: x,y,p,q; 联结词: ～,∧;模态词: □; 括号: (,)。②原子公式: 变量是原子公式。③合式公式(简称公式): 原子公式是公式;如P、Q是公式,则～P、P∧Q、□P是公式; 公式由且仅由上述两式经有限步构作而成。
(5)形式语言中的其他逻辑运算符可视为是上述基本符号的一些扩充,它们可定义如下:
P∨Q相当于～(～P∧～Q);
P→Q相当于～P∨Q;
P↔Q相当于(P→Q)∧(Q→P);
◇P相当于～□～Ps
P⇒Q相当于□(P→Q);
P⇔Q相当于□(P↔Q)。
(6)可以建立模态逻辑的公理系统。下面给出其中的一个公理系统:
公理:
A1: P∧Q→Q∧P;
A2: P∧Q→P;
A3: P→Q∧P;
A4: P∧(Q∧R)→Q∧(P∧R);
A5: (P→Q)∧(Q→R)→(P→R);
A6: P→◇Ps A7: ◇～P→□～P。
规则:
R1: P,P→Q⊦Q;
R2: P, Q⊦P∧Q;
R3: 等价替换;
R4: 一致性替换。
3.非单调逻辑(non-monotonic logic)
经典的逻辑均是“单调”的,即它是确定的,由已知事实所推出的结论不因增加已知事实而造成结论的丧失。但是在现实世界中往往会产生很多例外(即不确定性),如“鸟会飞”、“天下乌鸦一般黑”,一般认为是对的,但是它们有很多例外,如鸵鸟、死鸟、玩具鸟等均不会飞。又如,世界上也确实有“白乌鸦”等,根据“鸟会飞”,我们将有“a是鸟”立即可以推得“a会飞”的结论。但如“a是鸵鸟”我们立即会撤回“a会飞”的结论,并且会加入: “鸵鸟不会飞”,或修改成: “鸟会飞除非它是鸵鸟”。现实世界中的这种非单调性构成了逻辑中的非单调逻辑。
一般我们认为,在一个公理系统T中增加一些断言后可得到一个新公理系统T。如某公式A在T中成立,它必在T中也成立,则此种逻辑称为单调逻辑; 如A在T中成立但它在T中未必一定成立,则此种逻辑称为非单调逻辑。
非单调逻辑反映了客观世界的下述三种情况:
(1)知识不完全时,往往需要做一些缺省推理,这些假设在有更多知识时可能是无效的,前面有关鸵鸟的例子即属此类。
(2)在问题求解时,人们常常做一些暂时的假设,以便取得“可能”的解,但这些假设有可能对也有可能不对。
(3) 由于客观世界的经常变化产生了另一种知识不完全时,不作缺省推理而是沿用了过时、陈旧的知识而产生了错误。
非单调逻辑的表示方法,一般是在经典逻辑中加入一个表示“相容”的模态操作M而得到的,其MP表示与已推得定理相容,并且与此同时再建立一个非单调推理。 如P则|～MP。
|～MP中的|～表非单调推理,它的含义是如果有推不出 P, 则我们认为可以非单调推出MP, 利用MP以及|～MP可以在经典逻辑之上建立一套完整的非单调逻辑理论。
4.时态逻辑(temporal logic)
我们的世界是一个变化的世界,这个世界随着时间的推移而不断地产生变化,因此,时间因素在研究任何问题时都变得极为重要,而一种带有时间语义的逻辑我们一般称为时态逻辑。目前,时态逻辑有两种处理方法,一种是在经典逻辑中加入有关时间谓词; 另一种是在模态逻辑中引入一些有关时间的模态操作,其具体如下:
(1)一阶逻辑的扩充: 在一阶逻辑中引入两个与时间相关的谓词,它们是:
ET(t₁,t₂₎: 表示时间t₁在时间t₂之前。
SS(t₁,t₂₎: 表示时间t₂是t₁的直接后继。
有关ET与SS的语义可用一组公式定义,如ET就有如下公式: ∀x∀y(ET(x,y)→tpt(x)∧tpt(y))。其中,tpt表示时间点。∀x∀y(ET(x,y)∨x=y∨ET(y,x)∨～tpt(x)∨tpt(y))。对于两个时间点,不是在另一个之前, 就是两个相同。∀x∀y(ET(x,y)∧ET(y,z)→ET(x,z))表示时间有关谓词具有传递性。∀x∀y(ET(x,y)→～ET(y,x))表示时间有关谓词的非自反性。以上述ET、SS两个谓词为基础再加上这四个公式为公理,可以在经典逻辑基础上扩充成时态逻辑系统。
(2)基于模态的时态逻辑: 在模态逻辑中加入若干个有关时间的模态操作,如P操作表示“过去”的模态操作,F操作表示“将来”的模态操作,如:
(it rains)表示it is raining;
P(it rains)表示it has rained;
F(it rains)表示it will rain。
用P、F还可以定义模态操作,如:
Hq=P(q)表示一直是q;
Gq=F(q)表示将会一直是q。
用经典的命题逻辑公理再加上下面P、F、H、G的有关公理规则,可以构成一个简单的命题时态逻辑的最小公理系统:
公理:
G(q→r)→(Gq→Gr);
H(q→r)→(Hq→Hr);
H(Gq)→q;
G(Hq)→q。
规则:
如果q永真,则有Hq;
如果q永真,则有Gq。
5.模糊逻辑(fuzzy logic)
在现实世界中很多知识包含大量的不确定性,如“高个子”、“大胡子”中的“高”与“大”均有一定模糊性,它们很难用一个明确的数量概念予以确定,而建立在这种不确定基础上的逻辑称为模糊逻辑。
模糊理论以及模糊逻辑是由美国L.A Zadeh于20世纪60年代首先提出,其基础是模糊集合中的模糊子集概念,在模糊子集中一个元素对该子集有一个隶属度,隶属度是一个介于0与1间的实数,它表示了一个对象隶属某个模糊概念的程度。如“X是高个子”中,可以将高个子视为一个模糊概念,X是一个对象。在模糊理论中X属于高个子有一个隶属度,如为0.9即表示X为高个子的程度。隶属度建立了集合与元素间的模糊关系,而某个集合与其所有元素间的隶属关系则是一个函数,称为隶属函数。
在模糊逻辑中,广泛地使用了隶属函数的概念,它在传统逻辑基础上,在以下情况下引入隶属度与隶属函数:
(1)在原子命题及原子谓词中引入隶属函数。
(2)在逻辑运算中引入隶属函数及隶属度,如两个模糊命题的“合取”运算所得结果命题其隶属度为对应两个命题隶属度的最小值,而“析取”运算所得结果命题其隶属度为对应命题的最大值,而一个模糊命题的否定命题其隶属度为“1-模糊命题隶属度” 。
(3)在逻辑推理中引入推理的隶属度与隶属函数。
这样,就建立了一套模糊逻辑的完整理论。