15158846557 在线咨询 在线咨询
15158846557 在线咨询
所在位置: 首页 > 营销资讯 > 网站运营 > 什么是动态规划(Dynamic Programming)?动态规划的意义是什么?

什么是动态规划(Dynamic Programming)?动态规划的意义是什么?

时间:2023-10-19 07:30:01 | 来源:网站运营

时间:2023-10-19 07:30:01 来源:网站运营

什么是动态规划(Dynamic Programming)?动态规划的意义是什么?:动态规划中递推式的求解方法不是动态规划的本质。

我曾经作为省队成员参加过NOI,保送之后也给学校参加NOIP的同学多次讲过动态规划,我试着讲一下我理解的动态规划,争取深入浅出。希望你看了我的答案,能够喜欢上动态规划。

0. 动态规划的本质,是对问题状态的定义状态转移方程的定义

引自维基百科

dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.
动态规划是通过拆分问题,定义问题状态和状态之间的关系,使得问题能够以递推(或者说分治)的方式去解决。

本题下的其他答案,大多都是在说递推的求解方法,但如何拆分问题,才是动态规划的核心。

拆分问题,靠的就是状态的定义状态转移方程的定义

1. 什么是状态的定义?


首先想说大家千万不要被下面的数学式吓到,这里只涉及到了函数相关的知识。


我们先来看一个动态规划的教学必备题:

给定一个数列,长度为N,
求这个数列的最长上升(递增)子数列(LIS)的长度.

1 7 2 8 3 4
为例。
这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4,长度为4;
次长的长度为3, 包括 1 7 8; 1 2 3 等.
要解决这个问题,我们首先要定义这个问题和这个问题的子问题。

有人可能会问了,题目都已经在这了,我们还需定义这个问题吗?需要,原因就是这个问题在字面上看,找不出子问题,而没有子问题,这个题目就没办法解决。

所以我们来重新定义这个问题:

给定一个数列,长度为N,
F_{k}为:以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.
F_{1}..F_{N} 中的最大值.
显然,这个新问题与原问题等价。

而对于F_{k}来讲,F_{1} .. F_{k-1}都是F_{k}的子问题:因为以第k项结尾的最长递增子序列(下称LIS),包含着以第1..k-1中某项结尾的LIS。

上述的新问题F_{k}也可以叫做状态,定义中的“F_{k}为数列中第k项结尾的LIS的长度”,就叫做对状态的定义。

之所以把F_{k}做“状态”而不是“问题” ,一是因为避免跟原问题中“问题”混淆,二是因为这个新问题是数学化定义的。


对状态的定义只有一种吗?当然不是

我们甚至可以二维的,以完全不同的视角定义这个问题:

给定一个数列,长度为N,
F_{i, k}为:
在前i项中的,长度为k的最长递增子序列中,最后一位的最小值. 1/leq k/leq N.
若在前i项中,不存在长度为k的最长递增子序列,则F_{i, k}为正无穷.
求最大的x,使得F_{N,x}不为正无穷。
这个新定义与原问题的等价性也不难证明,请读者体会一下。

上述的F_{i, k}就是状态,定义中的“F_{i, k}为:在前i项中,长度为k的最长递增子序列中,最后一位的最小值”就是对状态的定义。


2. 什么是状态转移方程

上述状态定义好之后,状态和状态之间的关系式,就叫做状态转移方程。

比如,对于LIS问题,我们的第一种定义:

F_{k}为:以数列中第k项结尾的最长递增子序列的长度.
设A为题中数列,状态转移方程为:

F_{1} = 1 (根据状态定义导出边界情况)
F_{k}=max(F_{i}+1 | A_{k}>A_{i}, i/in (1..k-1)) (k>1)
用文字解释一下是:

以第k项结尾的LIS的长度是:保证第i项比第k项小的情况下,以第i项结尾的LIS长度加一的最大值,取遍i的所有值(i小于k)。

第二种定义:

F_{i, k}为:在数列前i项中,长度为k的递增子序列中,最后一位的最小值
设A为题中数列,状态转移方程为:

A_{i}>F_{i-1,k-1}F_{i,k}=min(A_{i},F_{i-1,k})
否则:F_{i,k}=F_{i-1,k}
(边界情况需要分类讨论较多,在此不列出,需要根据状态定义导出边界情况。)

大家套着定义读一下公式就可以了,应该不难理解,就是有点绕。

这里可以看出,这里的状态转移方程,就是定义了问题和子问题之间的关系。

可以看出,状态转移方程就是带有条件的递推式。

3. 动态规划迷思

本题下其他用户的回答跟动态规划都有或多或少的联系,我也讲一下与本答案的联系。

a. “缓存”,“重叠子问题”,“记忆化”:

这三个名词,都是在阐述递推式求解的技巧。以Fibonacci数列为例,计算第100项的时候,需要计算第99项和98项;在计算第101项的时候,需要第100项和第99项,这时候你还需要重新计算第99项吗?不需要,你只需要在第一次计算的时候把它记下来就可以了。

上述的需要再次计算的“第99项”,就叫“重叠子问题”。如果没有计算过,就按照递推式计算,如果计算过,直接使用,就像“缓存”一样,这种方法,叫做“记忆化”,这是递推式求解的技巧。这种技巧,通俗的说叫“花费空间来节省时间”。都不是动态规划的本质,不是动态规划的核心。

b. “递归”:

递归是递推式求解的方法,连技巧都算不上。

c. "无后效性",“最优子结构”:

上述的状态转移方程中,等式右边不会用到下标大于左边i或者k的值,这是"无后效性"的通俗上的数学定义,符合这种定义的状态定义,我们可以说它具有“最优子结构”的性质,在动态规划中我们要做的,就是找到这种“最优子结构”。

在对状态和状态转移方程的定义过程中,满足“最优子结构”是一个隐含的条件(否则根本定义不出来)。对状态和“最优子结构”的关系的进一步解释,什么是动态规划?动态规划的意义是什么? - 王勐的回答 写的很好,大家可以去读一下。

需要注意的是,一个问题可能有多种不同的状态定义和状态转移方程定义,存在一个有后效性的定义,不代表该问题不适用动态规划。这也是其他几个答案中出现的逻辑误区:

动态规划方法要寻找符合“最优子结构“的状态和状态转移方程的定义在找到之后,这个问题就可以以“记忆化地求解递推式”的方法来解决。而寻找到的定义,才是动态规划的本质。

有位答主说:

分治在求解每个子问题的时候,都要进行一遍计算
动态规划则存储了子问题的结果,查表时间为常数
这就像说多加辣椒的菜就叫川菜,多加酱油的菜就叫鲁菜一样,是存在误解的。

文艺的说,动态规划是寻找一种对问题的观察角度,让问题能够以递推(或者说分治)的方式去解决。寻找看问题的角度,才是动态规划中最耀眼的宝石!(大雾)

关键词:动态,规划,意义

74
73
25
news

版权所有© 亿企邦 1997-2025 保留一切法律许可权利。

为了最佳展示效果,本站不支持IE9及以下版本的浏览器,建议您使用谷歌Chrome浏览器。 点击下载Chrome浏览器
关闭