Zaslavsky Web Map哈密顿混乱网相图

时间：2023-05-11 14:00:02 | 来源：网站运营

时间：2023-05-11 14:00:02 来源：网站运营

Zaslavsky Web Map哈密顿混乱网相图：哈密顿混沌理论是高等理论力学中的推导出的一部分，它基于KAM理论，探讨了在一定微扰状态下的相空间的点的散布情况。

术语“混沌”常常用于描述系统的轨迹对初始条件的微小变化都很敏感的现象。在现实中，这种运动的特性类似于那些随机运动的特性。如果我们把自己限制在具有以下特点的哈密尔顿系统上area-preserving 的动力学，上述混沌的定义就会显得令人困惑。一个运动轨迹能否在某些时候是混沌的，而在其余时间是 "有规律的“？

我们可以看到哈密顿混乱相图，在某种程度上是规律对称的。明明是混乱的无序，但却有有序的美。

接下来做一个对Zaslavsky Web Map的简单推导：

假设我们有一个谐振子，在一个微扰的磁场的影响下运动，运动方程为： /ddot{x}+/omega_0^2x=-/omega_0^2/sum_{n=-/infty}^{/infty}{sin(kx-/omega t-n/Delta/omega t)} // =-/omega_0^2Tsin/theta /sum_{n=-/infty}^{/infty}{/delta(t-nT)}

在式子中， T=2/pi//triangle/omega,/theta=kx-/omega t 并使用傅立叶变换，映射到delta函数中。设谐振子质量m=1，可以得到该运动的哈密顿量：

H=/frac{1}{2}p^2+/frac{1}{2}/omega_0^2x^2-/frac{/omega_0^2T}{k}cos/theta/sum_{n=-/infty}^{/infty}{/delta(t-nT)}//

这个哈密顿量包括了一个自由粒子的运动项，谐振子的谐振项和以一定频率微扰的微扰项。通过对tn的前一无限小时刻和tn的后一无限小时刻相等作为边界条件： x(t_{n+0})=x(t_{n-0})// /dot{x}(t_{n+0})=/dot{x}(t_{n-0})-/omega_0^2Tsin(kx-/omega nT)

这样就得到了Web 方程： p_{n+1}=[p_n+/omega_0^2Tsin(/omega nT-kx_n)]cos/alpha-/omega_0x_nsin/alpha // x_{n+1}=x_ncos/alpha+/frac{1}{/omega_0}[p_n+/omega_0^2Tsin(/omega nT-kx_n)]sin/alpha

对上述方程进行化简： /alpha=/omega T,u=kp//omega_0,v=-k/x,K=/omega_0T u_{n+1}=(u_n+Ksinv_n)cos/alpha+v_nsin/alpha// v_{n+1}=-（u_n+Ksinv_n)sin/alpha+v_ncos/alpha

通过对这个方程进行迭代计算，我们可以得到不同的哈密顿混乱图。有以下特点

1.这个Web方程很容易受到初始点位置的影响，如果初始点位于fixed point，那体系将会收敛，不在混乱。如果初始点有一点点的改变，迭代多次后的混乱谱图也会有不同的样子。

2.混乱谱图具有对称性，其对称轴数为谐振子本身的谐振频率和外加磁场的频率之比。混乱谱图的每一个小部分依然与整张图的对称性相同。

3.混乱度K，影响了Web map的不稳定区域((u,v)点能经过的位置）的大小，K越大，留白的地方（Island）越小，不稳定区域越大且扩散也越快。但是K一旦超过一个临界值，该混乱运动将不能投影到2-D的相空间中。由于u(n),v(n)变换到u(n+1),v(n+1)的变换矩阵M得不到特征值解，所以K具有一个上限。

哈密顿混乱网相图是完全随机的，你永远不能通过最初的点直接预测10000次迭代后的点。但是它又是那样的具有对称性的规律。可以说是我见过的最漂亮的理论物理图案了。他研究的意义在于对这个充满扰动的地球来说，我们掌握了参与扰动的因素，能不能预测地球的发展的未来呢？宇宙本身也是一个混乱系统，在不断地迭代，扩散，我们能不能预测未来的宇宙，或者推测那个宇宙的初始的状态呢？

1. Zaslavskii, G. M., et al. "Stochastic web and diffusion of particles in a magnetic field." Sov. Phys. JETP 64.2 (1986): 294-303.

2. Zaslavskiĭ, G. M., et al. "Minimal chaos, stochastic webs, and structures of quasicrystal symmetry." Soviet Physics Uspekhi 31.10 (1988): 887.

3. Zaslavsky, George M. The physics of chaos in Hamiltonian systems. world scientific, 2007.