商群例子
时间：2023-02-21 04:14:02 | 来源：营销百科
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商群例子：考虑整数集
Z（在加法下）的群和所有偶数构成的子群2
Z。这是个正规子群，因为
Z是阿贝尔群。只有两个陪集：偶数的集合和奇数的集合；因此商群
Z/2
Z是两个元素的循环群。这个商群同构于集合{ 0, 1 }带有模2加法运算的群；非正式的说，有时称
Z/2
Z等于集合{ 0, 1 }带有模2加法。
上个例子的稍微一般化。再次考虑整数集
Z在加法下的群。设n是任何正整数。我们考虑由n的所有倍数构成的
Z的子群n
Z。n
Z在
Z中还是正规子群因为
Z是阿贝尔群。陪集们是搜集{n
Z,1 n
Z,...,(n−2) n
Z,(n−1) n
Z}。整数k属于陪集r n
Z，这里的r是k除以n的馀数。商
Z/n
Z可以被认为模以n的'馀数'的群。这是个n阶循环群。
考虑复数十二次单位一的根的乘法阿贝尔群G，它们是在单位圆上的点，它们在右图中展示为着色的球并在每点上用数标记出它们的辐角。考虑它由单位一的四次根构成的子群N，在图中表示为红色球。这个正规子群把群分解为三个陪集，分别表示为红色、绿色和蓝色。你可以验证这些陪集形成了三个元素的群（红色元素和蓝色元素的乘积是蓝色元素，蓝色元素的逆元是绿色元素等等）。因此商群G/N是三种颜色元素的群，它又是三个元素的循环群。
考虑实数集
R在加法下的群，和整数集子群
Z。
Z在
R中的陪集们是形如a
Z的所有集合，这里0 ≤ a 1是实数。这种陪集的加法是通过做相应的实数的加法，并在结果大于或等于1的时候减去1完成的。商群
R/
Z同构于圆群S
1，它是绝对值为1的复数在乘法下的群，或者说关于原点的二维旋转的群，也就是特殊正交群SO(2)。有一个同构给出为f(a
Z) = exp（2πia，参见欧拉恒等式）。
如果G是可逆的3 × 3实数矩阵的群，而N是带有行列式为1的3 × 3实数矩阵的子群，那么N在G中是正规子群（因为它是行列式同态的核）。N的陪集们是带有给定行列式的矩阵的集合们，因此G/N同构于非零实数的乘法群。
考虑阿贝尔群
Z4 =
Z/4
Z（也就是集合{ 0, 1, 2, 3 }带有加法模4），和它的子群{ 0, 2 }。商群
Z4 / { 0, 2 }是{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }。这是带有单位元{ 0, 2 }的群，群运算如{ 0, 2 } { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群{ 0, 2 }和商群{ { 0, 2 }, { 1, 3 } }同构于
Z2。
考虑乘法群。第n个馀数的集合N是的ϕ (n)阶乘法子群。则N在G中是正规子群并且因子群G/N有陪集N,（1 n）N, (1 n)
2N,…,(1 n)
n−1N。Pallier加密系统基于了在不知道n的因子分解的时候难于确定G的随机元素的陪集的猜想。
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